Definitionsmenge einer Bruchgleichung

a.)

b.)

c.)

d.)

e.)

Versuche nun diese Aufgaben alleine zu lösen, ohne vorher die folgende Lösung anzuschauen! Wenn es dir zu viele sind, machst du einfach ´mal die ersten beiden Teilaufgaben. Vielleicht kommst du dann schon auf die Antwort der Frage, wann das Kürzen keinen Einfluss auf die Definitionsmenge D hat. Du ermittelst dazu einfach die Definitionsmenge D der ungekürzten Gleichung sowie D* der gekürzten Gleichung und vergleichst dann die beiden Mengen D und D*. Danach stellst du dir die Frage:Hat sich durch das Kürzen etwas verändert und wenn ja, woran liegt das?

Die Lösungen der Gleichungen brauchst du nicht ausrechnen. (Wer will kann sie natürlich auch lösen;sie lassen sich alle ganz gut berechnen. Alle Bruchgleichungen des 2. Bsp. führen letztendlich auf lineare Gleichungen (Gleichungen ohne ), so dass du sie bereits in der 8. Klasse auf jeden Fall lösen kannst. Würde nämlich am Schluss in der Gleichung verbleiben, könntest du das in der 8. Klasse noch nicht lösen. Falls bei dir also doch in der Gleichung verbleibt, hast du dich verrechnet. In der 9. Klasse (G8 und R6 mathematischer Zweig) können auch Bruchgleichungen, bei denen am Ende nicht wegfällt, kommen.) Wie man Bruchgleichungen durch Rechnung lösen kann, wird allerdings erst im Kapitel Rechnerische Lösungsverfahren von Bruchgleichungen besprochen.)

zu 3a.)

Hier noch einmal die Angabe:

Lösung:

Erst einmal zur Definitionsmenge D der ungekürzten Gleichung. Man muss sich dazu überlegen, für welche Werte von x jeweils einer der beiden Nenner Null ergibt. Beim rechten Bruch ist es, wegen , offensichtlich, dass der Nenner für x = 0 den Wert Null annimmt. Der linke Bruch mag dir etwas schwieriger erscheinen;er ist es aber gar nicht. Im Nenner dieses Bruchs steht ein Produkt. Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Das ist der Grund, warum man die beiden Klammern einzeln gleich Null setzen darf. Man braucht sich also nur zu fragen, für welche Werte von x die Klammer Null ergibt bzw. für welche Werte von x die Klammer Null ergibt. Die erste Klammer wird Null, wenn man für x die Zahl – 1 einsetzt;die zweite Klammer wird Null für x = – 4. Somit kennen wir jetzt alle Definitionslücken:x = -1, x = – 4 und x = 0

Die Definitionsmenge D der ungekürzten Gleichung lautet daher:

bezüglich G = ℚ(8. Klasse) bezüglich G = ℝ (ab 9. Klasse)

D = ℚ bzw. D = ℝ

Nun kürzen wir den linken Bruch der Gleichung;der rechte Bruch lässt sich nicht kürzen.

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