Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Wir müssen uns fragen, für welche Werte von x der Nenner jeweils eines der beiden Brüche Null ergibt. Es ist leicht zu erkennen:Der Nenner des linken Bruchs wird Null, wenn man für x die Zahl – 5 einsetzt. Beim rechten Bruch wird der Nenner für x = 0 wegen 
gleich Null.
Der erste Nenner wird also für x = – 5 gleich Null, der zweite Nenner bei x = 0.
Daher lautet die Definitionsmenge: D = ℚ 
bzw. D = ℝ 
Nun kürzen wir wieder und lösen die Gleichung nach x auf.
| 
Der soeben berechnete Wert x = 0 liegt jedoch nicht innerhalb der Definitionsmenge. (x = 0 ist schließlich eine der beiden Definitionslücken.) Somit kann x = 0 nicht Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung sein! Da es sonst keine andere Lösung gibt, ist die Lösungsmenge leer. Das würdest du auch feststellen, wenn du mit x = 0 die Probe versuchen würdest. Es würde sich dabei nämlich im Nenner des zweiten Bruchs Null ergeben und das ist ja nicht definiert. Es gilt daher:
L = 
Wie schon bei Teilaufgabe 2b.) fällt der für x berechnete Wert mit einer Definitionslücke zusammen. Dieses Mal hast du das bestimmt auch selbstständig gemerkt. Nur bei Teilaufgabe 2a.) fällt der für x berechnete Wert nicht mit einer Definitionslücke zusammen. Daher ist bei dieser Teilaufgabe der für x berechnete Wert tatsächlich Lösung der gegebenen Bruchgleichung. Die Lösungsmenge bei 2a.) enthält genau diesen Wert von x. Es ist dir nun sicher klar geworden, dass die Definitionsmenge einen großen Einfluss auf die Lösungsmenge hat. Dies ist auch der Grund, warum du bei Bruchgleichungen immer erst die Definitionsmenge ermitteln musst, bevor du die Lösungsmenge angeben kannst.
In diesen drei Aufgaben ließsich durch Kürzen die Bruchgleichung in eine einfache lineare Gleichung umwandeln. Das ist leider nicht bei allen Bruchgleichungen möglich. Vielmehr stellen die oben gezeigten drei Bruchgleichungen absolute Sonderfälle dar. Wie sich Bruchgleichungen im Allgemeinen lösen lassen, kannst du in den Kapiteln Graphisches Lösungsverfahren von Bruchgleichungen und Rechnerische Lösungsverfahren von Bruchgleichungen nachlesen.
Warum ist es so wichtig die Definitionsmenge an der ungekürzten Bruchgleichung zu berechnen? Das wird dir sicher gleich klar, wenn du das folgende Beispiel bearbeitest.
3. Bsp.:
Berechne von folgenden Bruchgleichung die Definitionsmenge D! Kürze dann soweit möglich und ermittle dann die Definitionsmenge D* der gekürzten Gleichung! Vergleiche dann D und D* miteinander! Unter welchen Bedingungen hat das Kürzen eines oder mehrerer Faktoren keinen Einfluss auf die Definitionsmenge D der Bruchgleichung?
