Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Im Hinweis stand, dass hier auch im Zähler ausgeklammert werden soll. Für die Ermittlung der Definitionsmenge ist das Ausklammern im Zähler nicht notwendig, doch bietet es sich hier an, auch gleich im Zähler auszuklammern. Weil hier ja auch die Lösungsmenge gefragt ist, müssen wir unsere Gleichung so vereinfachen, dass sie sich nachher leichter nach x auflösen lässt. Wenn wir doch gerade schon beim Ausklammern sind, klammern wir eben nicht nur im Nenner, sondern auch gleich im Zähler aus, da sich die Gleichung dann durch geeignetes Kürzen soweit vereinfachen lässt, dass man sie bequem nach x auflösen kann. Wir fragen uns daher:Was lässt sich hier überhaupt ausklammern?
Beim linken Bruch lässt sich im Zähler (aus der ersten Klammer) und auch im Nenner der Faktor 4 ausklammern. Bei dem Bruch, der auf der rechten Seite der Gleichung steht, kann man nur im Zähler den Term 
ausklammern. Das hast du bestimmt auch schon alleine herausgefunden.
Du kannst natürlich jetzt gleich kürzen, doch die Definitionsmenge muss an der ungekürzten Gleichung ermittelt werden. Daher wollen wir hier noch vor dem Kürzen die Definitionsmenge ermitteln. Dazu überlegen wir uns, für welche Werte von x der Nenner Null ergeben würde. Nach dem Ausklammern ist das ganz leicht zu erkennen:Der Nenner des Bruchs auf der linken Seite wird gleich Null, wenn man für x die Zahl – 5 einsetzt. Der Nenner des Bruchs auf der rechten Seite wird gleich Null, wenn man für x die Zahl 0 einsetzt. Die Zahlen – 5 und 0 sind also unsere Definitionslücken;sie müssen bei der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Eine Grundmenge ist in der Aufgabe nicht extra angegeben. Somit nehmen wir einfach die größtmögliche Zahlenmenge, die du kennst:Bis zur 8. Klasse:G = ℚbzw. ab der 9. Klasse: G = ℝ
Dann lautet die Definitionsmenge: D = ℚ 
bzw. D = ℝ
Soweit bist du vermutlich auch alleine gekommen. Auch das Kürzen hat hoffentlich geklappt. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass man nur bei Produkten, nicht aber bei Summen und Differenzen kürzen darf. Da gibt es doch den altbekannten, bösen Spruch:„Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!“ Ich persönlich mag diesen Spruch eigentlich nicht, denn niemand ist dumm, bloßweil er ´mal bei einer Summe oder Differenz gekürzt hat. Hat doch fast jeder – auch die Lehrer, als sie selbst noch Schüler waren – diesen Fehler am Anfang wahrscheinlich einmal (oder öfter) gemacht! Weil man eben erst kürzen darf, wenn ein Produkt im Zähler und Nenner vorliegt, klammern wir hier vor dem Kürzen aus. Durch das Ausklammern entsteht nämlich aus einer Summe oder Differenz ein Produkt und dann darf man endlich kürzen.
