Vielfachheiten der Nullstellen

Je nach dem, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt, unterscheidet man einfache, doppelte, dreifache und vierfache usw. Nullstellen.

Ergibt die Gleichung eine bestimmte Lösung genau ein einziges Mal, dann handelt es sich um eine einfache Nullstelle. Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 1.

Ergibt sich aus ein und dieselbe Lösung gleich zweimal, so ist es eine doppelte Nullstelle;die Vielfachheit dieser Nullstelle ist somit 2.

Entsprechend ist eine Nullstelle dreifach, wenn sie dreimal herauskommt, bzw. vierfach, wenn sie viermal herauskommt. Die Vielfachheit der Nullstelle ist dann 3 bzw. 4.

Besonders leicht lassen sich die Vielfachheiten der Nullstellen einer Polynomfunktion an ihrer faktorisierten Form (d.h. Produktform) ablesen. Siehe auch:Faktorisierter Funktionsterm

Man braucht nur den Exponenten außerhalb der einzelnen Klammern anschauen. Der Exponent entspricht der Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle.

Beispiel:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Daher braucht man nur die einzelnen Faktoren gleich Null zu setzen.

Der erste Faktor ist in unserem Beispiel 0,25. Er enthält kein x und kann somit gar nicht gleich Null werden;wir können ihn ignorieren.

Der zweite Faktor ist hier . Dieser Faktor wird gleich Null, wenn man für x die Zahl 3 einsetzt. Der Faktor kommt aber zum Quadrat vor;es handelt sich bei um eine doppelte Nullstelle. Man könnte schließlich statt auch schreiben. Daran sieht man, dass die Lösung eigentlich zweimal herauskommt. Die erste Klammer ergibt die erste Lösung ;die zweite Klammer ergibt die zweite Lösung . Die Nullstelle fällt praktisch mit der Nullstelle zusammen. Wir fassen dies als eine doppelte Nullstelle auf.

Der nächste Faktor ist . Diese Klammer wird gleich Null, wenn man für x die Zahl -1 einsetzt. Die Klammer hat die Potenz 3. Daher handelt es sich um eine dreifache Nullstelle. Wir schreiben:

Der letzte Faktor ist . Dieser Faktor wird gleich Null, wenn man für x die Zahl 6 einsetzt. Die Klammer ist ohne Potenz;Man kann sich aber den Exponent 1 dazu denken. Es handelt sich um eine einfache Nullstelle bei .

Die Funktion hat somit folgende Nullstellen:

Zusammenhang zwischen Vielfachheit der Nullstelle und Verlauf des Graphen in der Umgebung der Nullstelle:

Vielfachheit der Nullstelle:	Verlauf des Graphen in der Umgebung der Nullstelle:	Skizze des Graphen in der Umgebung der Nullstelle:
Einfache Nullstelle von	Graph schneidet die x-Achse mit Vorzeichenwechsel von
Doppelte Nullstelle von	Graph berührt die x-Achse Extremum (HOP oder TIP) ohne Vorzeichenwechsel von
Dreifache Nullstelle von	Graph hat einen Terrassenpunkt (TEP) mit Vorzeichenwechsel von
Vierfache Nullstelle von	Graph berührt die x-Achse;Graph hat einen Flachpunkt (FLAP). Dies ist auch ein Extremum (HOP oder TIP) Ähnlicher Verlauf wie bei einer doppelten Nullstelle, nur etwas „eckiger“. ohne Vorzeichenwechsel von
Fünffache Nullstelle von	Graph hat einen Terrassenpunkt. Ähnlicher Verlauf wie bei einer dreifachen Nullstelle, nur etwas „eckiger“. mit Vorzeichenwechsel von
Sechsfache Nullstelle von	Graph berührt die x-Achse;Graph hat einen Flachpunkt (FLAP). Dies ist auch ein Extremum (HOP oder TIP) Ähnlicher Verlauf wie bei einer doppelten oder vierfachen Nullstelle, nur noch etwas „eckiger“ als bei einer Vierfachen. ohne Vorzeichenwechsel von

Es ist dir bestimmt schon aufgefallen:

Bei allen Nullstellen mit ungerader Vielfachheit wechselt sein Vorzeichen. Bei den einfachen, dreifachen, fünffachen etc. Nullstellen liegt ein Vorzeichenwechsel von vor. Der Graph kommt von oben an die x-Achse heran und geht nach der Nullstelle unten weiter oder genau umgekehrt, er kommt von unten und geht dann oben weiter.

Bei allen Nullstellen mit gerader Vielfachheit liegt dagegen kein Vorzeichenwechsel von vor;so zum Beispiel bei den doppelten, vierfachen und sechsfachen Nullstellen. Der Graph kommt von unten an die x-Achse heran und geht nach der Nullstelle wieder unten weiter bzw. er kommt von oben und geht nach der Nullstelle wieder oben weiter.

Nullstelle mit ungerader Vielfachheit Vorzeichenwechsel von

Nullstelle mit gerader Vielfachheit kein Vorzeichenwechsel von

Nur für Schüler, welche die erste und auch höhere Ableitungen im Unterricht bereits behandelt haben:

Liegt an der Stelle eine Nullstelle vor, gilt natürlich . Das ist nur eine andere Schreibweise für y = 0. Eine Nullstelle liegt schließlich auf der x-Achse und jeder Punkt der x-Achse hat die y-Koordinate 0. (Mit ist übrigens eine konkrete Zahl gemeint, hier eben die x-Koordinate der jeweiligen Nullstelle.)

Ob auch die erste Ableitung an der Stelle gleich Null ist, hängt davon ab, welche Vielfachheit die Nullstelle besitzt. Nur wenn die Tangente an an der Stelle waagrecht verläuft, ist die Steigung und somit die erste Ableitung an dieser Stelle gleich Null. Ab einer Vielfachheit von 2 ist dies der Fall.

Die zweite Ableitung entspricht bekanntlich der Krümmung des Graphen .  Ab einer Vielfachheit von 3 ist die zweite Ableitung an der Stelle ebenfalls gleich Null.

Die dritte Ableitung ist an der Stelle gleich Null ab einer Vielfachheit von 4.

Zusammenfassung:

Bei einer einfachen Nullstelle gilt:

Bei einer doppelten Nullstelle gilt:

Bei einer dreifachen Nullstelle gilt:

Bei einer vierfachen Nullstelle gilt:

Wie man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnet, auch wenn sie noch nicht in ihrer faktorisierten Form / Produktform gegeben ist, wird an Hand vieler Beispiele erklärt im Kapitel Polynomfunktionen / Ganzrationale Funktionen dritten und höheren Grades.

Die Berechnung der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten ist ein Teil der Kurvendiskussion.

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