Stetigkeit

Ist eine Funktion stetig, lässt sich ihr Graph (zumindest innerhalb ihrer Definitionsmenge) zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Der Graph einer stetigen Funktion hat für x keine Sprungstellen. Knicke bzw. Spitzen kann er jedoch haben.

Vorsicht:Die Regel, dass eine Funktion  nicht stetig ist, wenn sie eine oder mehrere Sprungstellen hat, gilt wirklich nur an Stellen innerhalb der Definitionsmenge! Liegt eine Sprungstelle an einer Definitionslücke, ist die Funktion dennoch stetig! Betrachte dazu auch das letzte der unten gezeigten Beispiele!

Bitte jetzt nicht erschrecken! Die folgende Definition ist leider kompliziert, wird aber gleich danach noch erklärt.

Definition:      Eine Funktion f(x) ist an der Stelle stetig, wenn gilt:

Anmerkung:

ist eine konkrete Zahl. Eine Funktion wird immer lokal, also an einer bestimmten Stelle auf Stetigkeit untersucht. Im ersten nachfolgenden Beispiel (siehe unten) ist . Mit ist also die x-Koordinate der zu untersuchende „Problemstelle“ gemeint, an der die jeweiligen Teilfunktionen einer teilweise definierten Funktion zusammenstoßen.

Sprich:„Limes von x gegen von rechts der Funktion f von x“

Das Größer-Zeichen über dem Pfeil zwischen x und bedeutet:Annäherung an die Stelle von rechts. x ist also ein klein wenig größer als der feste Zahlenwert . Man nähert sich daher von rechts an die „Problemstelle“ an.

Sprich:„Limes von x gegen von links der Funktion f von x“

Das Kleiner-Zeichen über dem Pfeil zwischen x und bedeutet:Annäherung an die Stelle von links. x ist also etwas kleiner als der feste Zahlenwert . Man nähert sich daher von links an die „Problemstelle“ an.

Oben gezeigte Definition noch einmal in Worten:Ist das Ergebnis des Limes von rechts gleich dem Limes von links und stimmt dieses Ergebnis auch mit dem Funktionswert an der Stelle überein, ist die Funktion an der Stelle stetig, d.h. sie hat dort keine Sprungstelle.

Anschaulich bedeutet das:Wenn man auf dem Graphen der Funktion f mit dem rechten Zeigefinger von rechts und zugleich mit dem linken Zeigefinger von links an die Stelle herangeht, und es treffen sich die Fingerspitzen, dann ist die Funktion f an der Stelle stetig.

Beispiele:

Hauptsächlich bei teilweise definierten Funktionen (= aus mehreren Teilfunktionen zusammengesetzte Funktionen, oft mit geschweifter Klammer geschrieben) wird ab der 11. Klasse die rechnerische Überprüfung der Stetigkeit verlangt. Dies kann entweder mit Hilfe der h-Methode oder wesentlich einfacher durch bloßes Einsetzen des Wertes in die jeweiligen Teilfunktionsgleichungen geschehen. Ergibt sich dabei immer das gleiche Ergebnis, d.h. der Limes von links, der Limes von rechts und der Funktionswert sind an dieser Stelle gleich, ist die Funktion dort stetig.

Beispiel:          f(x) =

Die beiden Teilfunktionen y = und y = stoßen an der Stelle zusammen, da die eine für und die andere für gilt. Daher muss die Stetigkeit an der Stelle überprüft werden. Es soll auf die h-Methode verzichtet werden.

Es ergibt sich jedes Mal das selbe Ergebnis. Daher ist die Funktion f  bei stetig.

Weitere Beispiele zur rechnerischen Überprüfung der Stetigkeit (auch mit der h-Methode) und ausführlichere Erläuterungen zu diesem Thema findest du im Bereich Analysis im Kapitel Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

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