Maximum

Unter einem absoluten oder globalen Maximum einer Funktion versteht man genau genommen den absolut größten Funktionswert, den eine Funktion annehmen kann. Der zugehörige Punkt auf dem Graph der Funktion heißt absoluter Hochpunkt. Oft werden die Begriffe Hochpunkt und Maximum aber gleichbedeutend verwendet.

Absoluter Hochpunkt (absolut höchster Punkt des gesamten Graphen)

Von den absoluten Maxima sind die relativen Maxima zu unterscheiden. Beide zählen neben den Minima zu den Extrema einer Funktion. Siehe auch:Extremum

Ein relatives Maximum, auch lokales Maximum genannt, liegt vor, wenn es sich nicht um den absolut größten y-Wert handelt, sondern nur um den größten Funktionswert innerhalb einer bestimmten Umgebung. Der zugehörige Punkt auf dem Funktionsgraph heißt relativer oder auch lokaler Hochpunkt. Ein relativer Hochpunkt liegt also nur innerhalb einer bestimmten Umgebung am höchsten, ist aber nicht der am allerhöchsten gelegene Punkt insgesamt.

Relativer Hochpunkt (nicht allerhöchster Punkt des ganzen Graphen, sondern nur in dieser Umgebung)

Berechnung der Maxima einer Funktion f(x):

Da die Tangente an den Funktionsgraph bei einem Maximum waagrecht verläuft, muss die Tangentensteigung und somit auch die Steigung der Funktion an dieser Stelle gleich Null sein. Die Steigung einer Funktion berechnet man mit ihrer ersten Ableitung f´(x). Daher gilt:

f´(x) = 0

Dadurch werden die x-Koordinaten aller Punkte mit waagrechten Tangenten, also der Maxima, aber auch der Minima und Terrassenpunkte, berechnet. Der Nachweis, dass wirklich ein Maximum vorliegt, gelingt entweder durch die Untersuchung der Monotonie der Funktion oder mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachweis eines (relativen) Maximums mit Hilfe der Monotonie:

Wenn der Graph zuerst steigt (positive Steigung f´(x)) und dann fällt (negative Steigung f´(x)), liegt ein (relatives) Maximum vor und der Graph hat dort einen relativen Hochpunkt, kurz HOP. Ob es sich sogar um ein absolutes Maximum handelt, kann man erst am Verlauf des gesamten Graphen beurteilen. Gibt es jedoch nur eine einzige Monotonieänderung, liegt auf jeden Fall ein absolutes Extremum vor.

Monotonietabelle:

Nachweis eines (relativen) Maximums mit Hilfe der zweiten Ableitung:

In der 12. Klasse lernst du die zweite Ableitung f´´(x) kennen, welche die Krümmung der Funktion f(x) beschreibt. Ist die zweite Ableitung f´´(x) negativ, ist der Graph rechtsgekrümmt;ist f´´(x) dagegen positiv, ist der Graph linksgekrümmt.

Da der Graph in der Umgebung eines Maximums stets rechtsgekrümmt ist, muss im Falle des Vorliegens eines Maximums an der Stelle gelten:

f´´( ) 0

Einfacher gesagt:Man setzt die mit dem Ansatz f´(x) = 0 ermittelte x-Koordinate in die zweite Ableitung f´´(x) ein;ergibt sich dabei ein negativer Wert, liegt ein relatives Maximum vor. Ob es sich sogar um ein absolutes Maximum handelt, kann man nur am Verlauf des gesamten Graphen beurteilen.

Die y-Koordinate des Maximums erhält man, wenn man die x-Koordinate des Maximums in die Funktionsgleichung f(x) einsetzt. Vorsicht:Nicht in die Ableitung einsetzen, wenn man y ermitteln will, sonst würden wir die Steigung an dieser Stelle erhalten und nicht den Funktionswert y!

y = f( )

Konkrete Beispiele zur Berechnung der Maxima einer Funktion und noch weitere Informationen zu diesem Thema findest du im Bereich Analysis in den Kapiteln Erste Ableitung f´(x) bzw. Zweite Ableitung f´´(x) und Kurvendiskussion.