Kettenregel

Die Kettenregel gehört neben der Produktregel und der Quotientenregel zu den weiteren Ableitungsregeln. Sucht man die Ableitungeiner verketteten (verschachtelten) Funktion muss die Kettenregel angewendet werden. (Siehe auch:Verkettete Funktion/Verkettung)

Kettenregel in Worten:

Eine verkettete Funktion wird folgendermaßen abgeleitet.

Äußere Funktion ableiten, dabei statt x die innere Funktion hinschreiben;dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren (d.h. Nachdifferenzieren).

Die äußere und die innere Funktion dürfen also nicht einfach gleichzeitig abgeleitet werden, will man die Ableitung der verketteten Funktion finden. Zuerst also nur die äußere Funktion ableiten;die innere wird dann erst im Nachhinein abgeleitet und mit der bereits vorher gebildeten Ableitung der äußeren Funktion multipliziert, was man „Nachdifferenzieren“ nennt. Gerade das Nachdifferenzieren wird von Schülern schnell mal vergessen.

Vorsicht:Nachdifferenzieren nicht vergessen!

Als mathematische Formel sieht die Kettenregel leider ziemlich komplex aus.

Wir bezeichnen hier die innere Funktion mit u und die äußere mit v. (In der orangen bsv-Formelsammlung werden die gleichen Bezeichnungen verwendet. Leider ist es auf der Merkhilfe für G8 genau anders herum. Also aufpassen, wenn du mit der Merkhilfe für G8 arbeitest;da steht u für die äußere Funktion und v für die Innere.)

(dabei statt x die  )

Die innere Funktion ist immer diejenige Funktion, die man zuerst rechnen würde, wenn man für x eine konkrete Zahl in die Funktionsgleichung einsetzen würde.

Bsp.:

Gesucht ist die Ableitung der Funktion .

Lösung:

Es handelt sich um eine verkettete Funktion:In die Funktion ist die Funktion eingesetzt. ist hier die äußere Funktion; ist die innere Funktion. (Die innere Funktion ist immer in die äußere Funktion eingesetzt.) Würde man eine konkrete Zahl in einsetzen, müsste man zuerst hoch drei und plus 2 rechnen;erst danach müsste der Sinus von der Zahl berechnet werden. Das, was man zuerst rechnen muss, bildet die innere Funktion. Die andere Funktion ist die äußere. Zuerst wird nur die äußere Funktion v abgeleitet, wobei statt x die innere Funktion hingeschrieben werden muss. Die innere Funktion u wird beim Ableiten der verketteten Funktion erst später nachdifferenziert. Das bedeutet, dass noch mit u´ multipliziert werden muss.

Die Kettenregel hat es in sich. Es ist leider für das Abitur unabdingbar, dass du sie wirklich gut beherrscht. Da hilft nur eines, nämlich viel üben!

Die Kettenregel kann auch in Kombination mit der Produkt- und Kettenregel vorkommen. Beispiele dafür samt ausführlicher Lösungen findest du im Kapitel Einführung in die Differenzialrechnung bei Weitere Ableitungsregeln.

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