Bogenmaß

Ein Winkel kann entweder in Grad, z.B. , oder im sogenannten Bogenmaß, z.B. , angegeben werden. Das Bogenmaßgibt die Länge des Bogens am Einheitskreis an, der zum entsprechenden Mittelpunktswinkel gehört. (Der Einheitskreis ist ein Kreis im Koordinatensystem mit Mittelpunkt M(0|0) und dem Radius r = 1.) Betrachte dazu die folgende Abbildung!

Abb.:Einheitskreis mit Winkel im Gradmaßund Bogenmaß

Das Bogenmaßgibt also die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis an, die zum jeweiligen Winkel gehört. Es steht keine Einheit hinter dem Winkel im Bogenmaß, also kein Grad-Zeichen. Das Gradmaßlässt sich leicht in das entsprechende Bogenmaßumrechnen. (Die entsprechende Formel findest du etwas weiter unten.)

Ein Kreis mit Radius r hat bekanntlich den Umfang . Daher hat der Einheitskreis den Umfang . Zum gesamten Kreis gehört ein Winkel von 360°. Daher entspricht einem Winkel von 360° ein Bogenmaßvon .

(Das ist wichtig! Auswendig lernen!)

Wir verwenden auf dieser website die folgenden Abkürzungen:

für Winkel im Gradmaß(Deg von engl. degree = Grad)

für Winkel im Bogenmaß(Rad von radial)

Die Abkürzungen DEG und RAD kennst du sicher vom Taschenrechner. Bei Berechnungen mit Sinus, Kosinus oder Tangens muss beim Taschenrechner schließlich vorher der jeweilige Mode eingestellt werden. DEG muss gewählt werden, um mit Winkeln im Gradmaßzu rechnen, RAD für Winkel im Bogenmaß.

Normalerweise wird nicht extra  bzw. geschrieben, sondern einfach nur , weil man schließlich auch so erkennt, ob ein Winkel im Grad- oder Bogenmaßgemeint ist. Steht das Zeichen …° (Grad) bei einem Winkel, weißman, dass es sich um ein Gradmaßhandelt. Steht das Zeichen …° (Grad) nicht da, handelt es sich bei dem entsprechenden Winkel um ein Bogenmaß.

Bsp.:

ist ein Winkel im Gradmaß(erkenntlich an …°), also .

ist ein Winkel im Bogenmaß(erkenntlich am fehlenden …°), also .

Bei einem Winkel im Bogenmaßkommt häufig vor;das muss aber nicht sein. Jeder Winkel ohne die Angabe Grad ° ist ein Winkel im Bogenmaß!

ist ein Winkel im Bogenmaß(erkenntlich am fehlenden …°), also .

Die Bezeichnungen bzw. werden hier nur zur Verdeutlichung verwendet, sind aber allgemein nicht immer nötig. Bei den folgenden Umrechnungsformeln brauchen wir sie natürlich, sonst kannst du ja nicht erkennen, wie vom Grad- ins Bogenmaßumgerechnet wird bzw. umgekehrt.

Umrechnung:Gradmaß Bogenmaß

1. Bsp.:  Gib den Winkel im Bogenmaßan!

Lösung:

Der Winkel ist im Gradmaßgegeben.

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