Eine Gerade, die in der Ebene liegen soll, und eine zweite Gerade, die parallel zur Ebene verlaufen soll

5. Eine Gerade, die in der Ebene liegen soll, und eine zweite Gerade, die parallel zur Ebene verlaufen soll

Geg.:  g: h: mit

Es soll eine Parameterform der Ebene E ermittelt werden, welche die Gerade g enthält und parallel ist zur Gerade h. Da die Gerade g in der Ebene E liegt, liegt auch der Aufpunkt A der Gerade g in der Ebene. Daher kann der Punkt A als Aufpunkt der Ebene verwendet werden. Den Aufpunkt B der Gerade h darf man dagegen nicht als Aufpunkt der Ebene verwenden, weil die Gerade h nicht in der Ebene E liegt;h ist schließlich nur parallel zur Ebene E. Als Richtungsvektoren der Ebene können einfach die Richtungsvektoren der beiden Geraden verwendet werden, da sie laut Angabe keine Vielfachen voneinander sind. (Anmerkung:Die Geraden g und h bei dieser Aufgabenstellung liegen zwangsläufig windschief zueinander. Sonst wäre es nicht möglich eine Ebene zu bilden, die die eine Gerade enthält und zur anderen Geraden parallel verläuft.)

Bsp.:  Ermittle eine Parametergleichung der Ebene E, die die Gerade g enthält und  parallel zur Gerade h verläuft!

g: h:

Lösung:

Wie oben bereits erläutert, verwendet man als Aufpunkt der Ebene E den Aufpunkt der Gerade g. Als Richtungsvektoren der Ebene benützt man einfach die beiden Richtungsvektoren der Geraden. Da sie keine Vielfachen voneinander sind, spannen sie die Ebene auf. Daher lautet die gesuchte Ebenengleichung:

E:

Zusammenfassend lässt sich sagen:Um eine Ebene in Parameterform aufzustellen, benötigt man immer einen Punkt der Ebene als Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren, die jedoch keinesfalls Vielfache voneinander sein dürfen.

Leider ist die Parameterform einer Ebene nicht wirklich praktisch bei der Überprüfung der Lagebeziehungen zwischen Punkt, Gerade und Ebene. Besonders aufwändig ist vor allem die Berechnung einer eventuell vorhandenen Schnittgerade zweier Ebenen, wenn beide Ebenen in Parameterform vorliegen. Bereits die Frage, ob ein bestimmter Punkt P in der Ebene E liegt, führt bei einer Ebene in Parameterform zu einem (überbestimmten) Gleichungssystem, was einen nicht unbeträchtlichen Rechenaufwand darstellt. Siehe dazu Punktprobe:Liegt der Punkt P in der Ebene E?

Wenn du die Gleichung einer Ebene aufstellen sollst, die einen bestimmten Punkt P enthält und zu einer gegebenen Gerade g senkrecht verläuft, benötigt man die Normalenform der Ebene;mit der Parameterform ist das nicht möglich. Näheres dazu findest du im Kapitel Vektorielle Normalenform einer Ebene.

---