Schwierigere Variante der Substitution

Bei dieser Variante wird eine beliebige umkehrbare Funktion gewählt und nach aufgelöst (oder umgekehrt gewählt und nach t aufgelöst). Dann bildet man ;man leitet also nach t ab. Als nächstes ersetzt man dx durch und berechnet die neuen Grenzen, indem man die ursprünglichen Grenzen in einsetzt. Nun ersetzt man im Integranden (d.h. der zu integrierenden Funktion) jedes x durch und versucht das neue Integral zu lösen.

Puh, ziemlich kompliziert! Also noch einmal das Ganze Schritt für Schritt.

Anleitung zur Integration durch Substitution (Variante 2): 1. Schritt:Wähle eine beliebige umkehrbare Funktion und löse sie nach x auf; das Ergebnis nennst du . Es gilt somit: (Stattdessen kann man auch eine beliebige umkehrbare Funktion wählen und sie nach t auflösen.) 2. Schritt:Bilde . Du musst also nach t ableiten. 3. Schritt:Setze dx gleich . 4. Schritt:Setze die ursprünglichen Grenzen a und b in ein. Das ergibt die neuen Grenzen. Die neuen Grenzen sind somit und . 5. Schritt:Ersetze im Integranden (d.h. in der zu integrierenden Funktion) jedes x durch und versuche das Integral mit den neuen Grenzen und zu lösen. Hinweis:Bei unbestimmten Integralen entfällt der 4. Schritt. Stattdessen wird nach erfolgreicher Integration jedes auftretende t entsprechend der gewählten Substitution durch ersetzt. (Rücksubstitution)

Als Formel geschrieben sieht das dann folgendermaßen aus:

Wenn man Glück hat, ist das neue Integral leichter zu berechnen als das ursprüngliche. Das Problem daran ist, dass man zu Beginn eigentlich keine Ahnung hat, wie die Funktion gewählt werden muss, damit letztendlich ein lösbares Integral entsteht. Das einzige, was man weißist, dass umkehrbar sein muss, denn sonst könnte man nicht eindeutig nach x auflösen.  Da hilft nur eines:Ausprobieren und hoffen, dass man schnell ein geeignetes erwischt. Da man leider oft sehr unerwartete Substitutionen vornehmen muss, kann es schon ´mal viele Stunden (oder Wochen bis Monate, wenn nicht sogar Jahre!

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