Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Sicherlich hast du Aufgaben der folgenden Form schon öfter gelöst:Gegeben ist ein Funktionsterm und ihre Ableitungsfunktion ist gesucht. An Stelle des langen Wortes „Ableitungsfunktion“ sagt man auch einfach kurz „Ableitung“ oder genauer „erste Ableitung“. Manchmal musstest du vielleicht auch schon die Zweite Ableitung bilden, d.h. die erste Ableitung noch einmal ableiten. Mit Hilfe der Ableitungsregeln lassen sich solche Aufgaben (relativ) leicht lösen.

Jetzt stelle dir doch einmal die Frage, ob man umgekehrt von der Ableitung auch wieder auf die Funktion kommen kann, und wie das funktionieren könnte.

Beim Ableiten einer Funktion der Form verwendet man immer die Formel , das weißt du sicherlich. Die Potenz der Ableitung ist daher immer um 1 kleiner als die Potenz der Funktion . Weil die Potenz herunter geht, heißt es logischerweise „ableiten“. (Statt „ableiten“ kann man auch „differenzieren“ sagen.) Wenn man umgekehrt von der Ableitung auf die Funktion schließen will, muss dabei die Potenz zwangsläufig um 1 größer werden. Weil die Potenz dabei herauf geht, könnte man glauben, dass dies mit „aufleiten“ oder „hochleiten“ bezeichnet wird. Das ist in der Mathematik leider nicht gebräuchlich;mathematisch korrekt heißt dies „integrieren“.

Bsp.:

Integriert man erhält man , zumindest bis auf eine additive Konstante C. (Eine additive Konstante C ist eine Zahl ohne x, die addiert oder subtrahiert wird.) Warum man C nicht konkret ermitteln kann beim Integrieren? Ganz einfach:Beim Ableiten fallen additive Konstanten, d.h. Zahlen ohne x, die addiert oder subtrahiert werden, weg. Wie sollte man dann rückwärts beim Integrieren wieder auf diese konkrete Zahl kommen? Das geht eben nicht ohne weiteres. Daher muss man beim Integrieren immer + C dazu schreiben.

Nun gehen wir in Gedanken einen Schritt weiter. Denk dir mal eine Funktion F(x), die in dem vorher gezeigten Beispiel noch oberhalb von stehen würde. F(x) soll also abgeleitet ergeben. Es soll somit gelten:

So eine Funktion F(x) nennt man Stammfunktion zu . Die Funktion stammt quasi von F(x) ab; ist die Ableitungsfunktion von F(x).

Definition: Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion zur Funktion , wenn F(x) abgeleitet wieder ergibt. Bei einer Stammfunktion F(x) zu einer Funktion gilt somit: ist also die Ableitungsfunktion von F(x).

Wichtig:

Weil die additiven Konstante C beliebige reelle Werte annehmen kann, gibt es zu einer bestimmten Funktion f (x) nicht nur eine einzige Stammfunktion F(x), sondern unendlich viele verschiedene Stammfunktionen .

Die Graphen der Stammfunktionen sind je nach dem Wert von C entlang der y-Achse nach oben oder unten verschoben;sie gehen alle durch Verschiebung entlang der y-Achse auseinander hervor. Die Graphen verschiedener Stammfunktionen zu einer bestimmten Funktion f (x) haben also alle die gleiche Form, sie sind nur mehr oder weniger nach oben bzw. unten verschoben.

Eine Stammfunktion F(x) zu einer gegebenen Funktion f (x) ermitteln

Wie findet man aber jetzt die Funktionsgleichung einer Stammfunktion F(x), deren Ableitung F´(x) genau die Funktion sein soll? Wir müssen dazu integrieren, also „hochleiten“ oder „aufleiten“. Bloßwie geht das?

Im Prinzip muss beim Integrieren genau das umgekehrte wie beim Ableiten gemacht werden. Beim Ableiten einer Funktion der Form wird der Exponent um 1 erniedrigt, also wird beim Integrieren einer Funktion der Form der Exponent um 1 erhöht. Beim Ableiten einer Funktion der Form wird außerdem mit dem ursprünglichen Exponenten n multipliziert. Daher muss beim Integrieren einer Funktion der Form durch den um 1 erhöhten Exponenten dividiert werden.

Um eine Stammfunktion zu einer Funktion der Form mit zu erhalten, muss man den Exponenten um 1 erhöhen und außerdem durch diesen neuen Exponenten teilen. Nicht vergessen:Dahinter noch + C schreiben! C steht dabei für eine beliebige reelle Zahl. Diese additive Konstante C kann nur mit Hilfe weiterer Informationen über die Stammfunktion F(x) explizit berechnet werden. Als mathematische Formel geschrieben, sieht das Ganze folgendermaßen aus:

Damit der Nenner der Stammfunktion nicht Null ergibt, muss gelten. Die Funktion lässt sich daher nicht mit der gezeigten Formel integrieren.

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