Einführung in die Integralrechnung

• Was ist eine Stammfunktion F(x) einer Funktion und wie findet man bei Funktionen der Form mit eine Stammfunktion? Wie hängt der Verlauf des Graphen der Stammfunktion mit dem Funktionsgraphen der Funktion zusammen? Das wird erklärt im Teil Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln.

Für Schüler der 12. Klasse G8 und 13. Klasse im Anschluss an FOS/BOS:

• Von der Streifenmethode zum Integral:Die Einführung des Integralzeichens und die Herleitung einiger wichtiger Grundintegrale mit Hilfe von Ober- und Untersummenbildung wird gezeigt im Teil Das Summenzeichen und die Streifenmethode. Außerdem findest du zu Beginn dieses Teils auch Erläuterungen zum bestimmten Integral und zur Summenschreibweise , deren Kenntnis für die Streifenmethode unerlässlich ist.

Für alle Schüler einer 12 Klasse (G8, FOS, BOS):

• Was ist ein bestimmtes Integral und was hat das mit der Fläche zwischen Funktionsgraph und der x-Achse zu tun? Wie berechnet man ein bestimmtes Integral (ohne Streifenmethode)? Was ist dagegen ein unbestimmtes Integral ? Antworten darauf bekommst du im Teil Das bestimmte und das unbestimmte Integral.

• Was versteht man unter einer Integralfunktion? Was ist der Unterschied zwischen Integralfunktion und Stammfunktion? Was besagt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI) und wie kann man Extrema oder Wendepunkte einer Integralfunktion mittels HDI berechnen? All dies wird besprochen im Teil Die Integralfunktion und der HDI.

Für Schüler der 12. Klasse G8 und mathematisch-technischer Zweig der FOS/BOS (kompletter Teil), für Schüler einer nichttechnischen FOS/BOS (nur Flächenberechnung):

• Zu den wichtigsten Anwendungen der Integralrechnung gehören die Berechnung von Mittelwerten (z.B. durchschnittliche Geschwindigkeit oder mittlere Tagestemperatur) und die Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse sowie zwischen zwei Funktionsgraphen. Auch das Volumen eines Rotationskörpers, wie z. B. eines Zylinders, eines Kegels oder eines Sektglases, kann mit Hilfe eines Integrals ermittelt werden.

Für Schüler der 12. Klasse G8 und mathematisch-technischer Zweig der FOS/BOS:

• Das größte Problem bei der Berechnung von Integralen ist in der Regel das Finden einer Stammfunktion. Wie du auch bei schwierigeren Funktionen eine Stammfunktion finden kannst, wird erklärt im Teil Weitere Integrationsregeln. Für Schüler einer FOS/BOS (mathematisch-technischer Zweig) wird am Ende dieses Teils auch die partielle Integration und die Integration durch Substitution erklärt.

• Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken, sind nicht immer unendlich groß! Ist eine Integrationsgrenze bzw. oder eine Definitionslücke, ergibt sich eine Fläche, die sich uns Unendliche erstreckt. Ob deren Flächeninhalt endlich ist oder nicht, lässt sich nur durch die Berechnung des Integrals herausfinden. Wie das gemacht wird, wird im Teil Uneigentliche Integrale erklärt. Außerdem wird hier erklärt, was es bedeutet, ob ein uneigentliches Integral konvergiert oder divergiert.

Auch wenn du den Begriff „uneigentliches Integral“ im Unterricht noch nie gehört hast, solltest du dich zur Vorbereitung auf das Mathe-Abitur mit diesem Teil kurz beschäftigen, denn es werden oft Aufgaben als Transfer verlangt, die Integrale der Form enthalten. Danach wird meist nach gefragt und dies entspricht letztendlich , also einem uneigentlichen Integral.