Die Produktregel
Du verwendest die Produktregel nur für die Ableitung von Funktionen der Form 
, also ausschließlich für Produkte, die in beiden Faktoren die Variable x enthalten, und nur dann, wenn du die einzelnen Faktoren nicht schnell ausmultiplizieren kannst.
Produktregel
Du findest diese Formel auch auf deiner Merkhilfe.
Am besten, du merkst sie dir in der folgenden Kurzform:
In Worten:Gehen wir vom Normalfall aus, dass die Variable mit x bezeichnet ist und wir nach x ableiten sollen. Um ein Produkt abzuleiten, das in beiden Faktoren x enthält, geht man folgendermaßen vor:
Ersten Faktor ableiten 
zweiten Faktor hinschreiben + ersten Faktor hinschreiben zweiten Faktor ableiten
Schauen wir uns doch gleich ´mal einige konkrete Beispiele an.
1. Bsp.: Differenziere folgende Funktionen und vereinfache die Ableitung jeweils soweit möglich.
a.) 
b.) 
c.) 
d.) 
(Nur für Schüler, welche die e-Funktion bereits kennen)
e.) 
(Nur für Schüler, welche die ln-Funktion bereits kennen)
Lösung:
Zu 1a.)
Um die Funktion 
nach x zu differenzieren, d.h. abzuleiten, muss die Produktregel angewendet werden, weil es sich um Produkt handelt, das in beiden Faktoren die Variable x enthält.
Achtung:
Die Produktregel wird nicht angewendet beim Ableiten von Produkten, die nur in einem Faktor die Variable enthalten. Beispielsweise würde man bei der Funktion 
die Produktregel nicht verwenden, denn es kommt schließlich im ersten Faktor des Produkts kein x vor. Die Zahl 3 stellt bei nur eine multiplikative Konstante dar, also eine konkrete Zahl, mit der multipliziert wird. Die Zahl 3 bleibt beim Ableiten einfach stehen, nur der Rest der Funktion wird abgeleitet: 
.
Nun wenden wir die Produktregel auf die gegebene Funktion 
an. Der erste Faktor des Produkts, also hier 
, wird 
oder kurz einfach u genannt. Der zweite Faktor des Produkts, also hier 
, heißt 
oder kurz v.
Zur Erinnerung:
Die Ableitung der Funktion 
wird nach der Regel 
gebildet;daher gilt:
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion:
Hier noch einmal die Produktregel allgemein:
Die Ableitung kann noch etwas umgeformt werden. Wir klammern 
aus;dadurch entsteht nämlich ein Term, der sich leichter gleich Null setzen lässt. (Zur Berechnung der Extrema muss schließlich 
berechnet werden.)
Weiter lässt sich diese Ableitung nicht vereinfachen.
Du hast bestimmt selbst festgestellt:Wenn man einmal erkannt hat, dass die Produktregel angewendet werden muss, ist es nicht schwierig eine Funktion der Form 
abzuleiten. Das einzige Problem besteht darin, überhaupt zu merken, dass man die Produktregel braucht. Wenn du nämlich nicht an sie denkst und einfach 
rechnest, wäre das natürlich falsch.
Also Vorsicht: 
Zu 1b.)
Hier noch einmal die Funktion, die abgeleitet werden soll: 
