a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)
Meist wird einfach kurz als „Ableitung“ der Funktion
bezeichnet, so auch oft auf dieser website. Streng genommen handelt es sich bei
aber um die sogenannte Ableitungsfunktion. Nicht nur
, sondern auch
stellt eine eigene Funktion dar.
Beachte:Von der Ableitungsfunktion ist die Ableitung
einer Funktion
an einer bestimmten Stelle
zu unterscheiden. (Mit
ist – im Gegensatz zu x – eine konkrete, feste Zahl gemeint. Achtung:x stellt eine Variable/veranderliche Zahl dar. Daher kann x verschiedene Werte annehmen, wogegen
eine bestimmte, festgelegte Zahl ist.)
Mit ist daher die Steigung einer Funktion
an einer bestimmten Stelle
gemeint. Laut Definition gilt:Die Steigung einer Funktion
in einem festen Kurvenpunkt
entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen
in diesem Punkt. Du kannst also den Begriff der Kurvensteigung immer mit dem der Tangentensteigung an dieser Stelle gleichsetzen. Somit ist
die Tangentensteigung der Funktion
in diesem einen Kurvenpunkt
.
Daraus folgt: Die Ableitung in einem bestimmten Punkt ist eine Zahl, welche die Tangentensteigung in diesem Punkt angibt, und nicht wie die Ableitungsfunktion
eine ganze Funktion!
Unterscheide daher genau zwischen und
. Der erste Ausdruck
ist die Tangentensteigung im festen Kurvenpunkt
, der zweite Ausdruck
ist dagegen eine eigene Funktion, welche jedem x den Wert der Steigung der Funktion
an dieser Stelle zuordnet. Die y-Koordinate eines Punktes auf der Ableitungsfunktion
entspricht also immer der Steigung der Funktion
an der jeweiligen Stelle x.
Konkretes Beispiel:
ist die Steigung der Tangente im Kurvenpunkt
einer Funktion
. In diesem Beispiel ist
.
lasst sich ausrechnen, wenn man
kennt, entweder umstandlich mit Hilfe des Differenzialquotienten oder mittels der Ableitungsregeln. (Siehe:Einfache Ableitungsregeln) Wir verwenden im Folgenden immer die Ableitungsregeln. Wenn du die Ableitungsregeln noch nicht gelernt hast oder in einer bestimmten Aufgabe nicht verwenden darfst, musst du die Ableitung leider mit dem Differenzialquotienten bilden. (Naheres unter:Herleitung der Tangentensteigung aus der Sekantensteigung mittels des Differenzialquotienten)
Nehmen wir als konkretes Beispiel die Funktion . Dann ist die Ableitungsfunktion
. Die y-Koordinaten der Ableitungsfunktion
entsprechen dabei jeweils der Steigung der Funktion
an der Stelle x. Die Steigung der Funktion an der Stelle
ist somit
. Die Funktion
hat also an der Stelle
die Steigung 6. (Durch das Einsetzen der gegebenen x-Koordinate in die Ableitungsfunktion
hat man also die Tangentensteigung von
an dieser Stelle ausgerechnet.)
Die Ableitung ist also eine konkrete Zahl, welche die Tangentensteigung an der festen Stelle
angibt. Im Gegensatz dazu ist
die Ableitungsfunktion.
ist also eine richtige Funktion, wie auch
selbst. Die Ableitung
ist schlie?lich noch von x abhangig und stellt somit naturlich ebenfalls eine Funktion dar.