Die Ableitungsfunktion f´(x)
Im Folgenden wird an sich vorausgesetzt, dass du einfache Funktionen mit Hilfe der einfacheren Ableitungsregeln bereits ableiten kannst, und dass du schon weißt, dass die Ableitung 
der Steigung einer Funktion 
bzw. ihrer Tangentensteigung entspricht. Wenn dir der Begriff der Ableitung 
noch gar nichts sagt, solltest du unbedingt zuerst die Herleitung der Tangentensteigung aus der Sekantensteigung mittels des Differenzialquotienten durcharbeiten.
Hier trotzdem noch einmal eine ganz kurze Wiederholung der einfachen Ableitungsregeln:
In Worten:Man leitet Funktionen der Form 
ab, indem man den Exponenten n nach vorne zieht und außerdem anschließend vom ursprünglichen Exponenten n die Zahl 1 abzieht.
Bsp.: 
Wenn vor der x-Potenz noch ein Koeffizient (eine Zahl) steht, gilt:
Der Koeffizient a ist eine Zahl, die multipliziert wird, eine sogenannte multiplikative Konstante. Solche Zahlen bleiben beim Ableiten quasi stehen. D.h. der Exponent wird mit a beim Ableiten multipliziert. Funktionen der Form 
werden also abgeleitet, indem man den Exponenten n nach vorne zieht und mit dem Koeffizienten a multipliziert. Außerdem muss anschließend vom ursprünglichen Exponenten n die Zahl 1 abgezogen werden, das ergibt den Exponenten bei der Ableitung.
Bsp.: 
Zahlen ganz ohne x, die bei 
addiert oder subtrahiert werden, fallen beim Ableiten komplett weg. (Multiplikative Konstanten, d.h. Zahlen ohne x mit mal oder geteilt, bleiben dagegen beim Ableiten stehen, z.B. Zahlen ohne x vor einer Klammer.) Bei Ausdrücken der Form „Zahl mal x“ fällt das x beim Ableiten weg, nur die Zahl bleibt stehen. So ergibt 5x abgeleitet einfach die Zahl 5. (Vergleiche nächstes Beispiel!) Mehrere Ausdrücke mit x, die bei addiert oder subtrahiert werden, dürfen einzeln nacheinander abgeleitet werden.
Bsp.: 
Aber Vorsicht bei Produkten, Quotienten und verketteten/verschachtelten Funktionen! Ein Produkt, das die Variable x in mehreren Faktoren enthält, muss zuerst ausmultipliziert werden, bevor du es mit den oben erwähnten Regeln ableiten kannst. (Ansonsten muss Die Produktregelangewendet werden.) Quotienten, die im Nenner die Variable x enthalten, musst du erst so umformen, dass kein x mehr im Nenner steht, bevor du nach den oben erwähnten Regeln ableiten darfst. (Lässt sich die Funktion nicht ohne x im Nenner schreiben, muss Die Quotientenregel angewendet werden.) Auch Funktionen, die ineinander verschachtelt sind, wie zum Beispiel 
, können nicht so einfach abgeleitet werden. (Dazu braucht man Die Kettenregel.)
Soviel an dieser Stelle zu den Ableitungsregeln. Mehr dazu im Abschnitt:Einfache Ableitungsregeln
Zwei wichtige Punkte bezüglich und solltest du dir jetzt gleich bewusst machen:
· Wenn du eine gegebene x-Koordinate eines Kurvenpunktes von 
in die Funktionsgleichung 
einsetzt, erhältst du die y-Koordinate dieses Kurvenpunktes; ist schließlich nur eine andere Schreibweise für y.
· Wenn du eine gegebene x-Koordinate eines Kurvenpunktes von in die Ableitungsfunktion 
einsetzt, erhältst du die Steigung m des Graphen 
an dieser Stelle, d.h. die Steigung der Tangente im entsprechenden Kurvenpunkt; ist schließlich nur eine andere Schreibweise für die Tangentensteigung m.
Merke:
(Steigung von bzw. Tangentensteigung)
Um die y-Koordinate eines Punktes P der Funktion auszurechnen, setzt du die x-Koordinate von P immer in die Funktionsgleichung 
selbst ein und nicht in die Ableitungsfunktion ! Um dagegen die Tangentensteigung von 
in einem bestimmten Punkt auszurechnen, setzt du die x-Koordinate des Punktes P immer in die Ableitung 
ein.
Der gegebene Kurvenpunkt hat dabei allgemein die x-Koordinate 
. Mit ist also immer die x-Koordinate eines Punktes auf der Funktion gemeint. Dabei stellt grundsätzlich eine konkrete, feste Zahl dar und keine Variable. steht somit immer für eine bestimmte Zahl, wogegen x für die Variable steht.
Auf den Unterschied zwischen 
und werden wir im folgenden Teil a.) näher eingehen. Zwischen und besteht nämlich ein großer Unterschied. Auch die Definition der Ableitungsfunktion findest du hier.
Im Teil b.) werden die wichtigsten Zusammenhänge zwischen Funktion und zugehöriger Ableitungsfunktion besprochen. Außerdem wird hier auch der Begriff der „Stammfunktion F“ eingeführt und die Zusammenhänge der Graphen einer Funktion f und ihrer Stammfunktion F erläutert. Zu all dem viele Beispielaufgaben, natürlich mit ausführlichen Lösungen.
| a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)
b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x) |
