Das Wichtigste zur e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion, kurz e-Funktion, hat die Gleichung:

Doch was ist e überhaupt?

Einführung der Zahl e:

e steht für die sogenannte Eulersche Zahl.

Eulersche Zahl:

Die Zahl e ist, wie beispielsweise auch die Zahl , eine irrationale Zahl, d.h. eine Kommazahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen. (Es sieht zwar so aus, als würde sich ab der zweiten Nachkommastelle die Ziffernfolge 1828 immer wieder periodisch wiederholen, doch das ist nicht der Fall. Die Ziffern ab der 10. Nachkommastelle, die hier nur durch die drei Punkte angedeutet wurden, sind nicht periodisch.)

Merke:Die Zahl e ist eine Dezimalzahl mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen! e gehört zur Menge der reellen Zahlen ℝ, aber nicht zur Menge der rationalen Zahlen ℚ. Es gilt:e ℝ;e ℚ)

Wir können e somit nur gerundet als Dezimalzahl angeben.

Es ist völlig ausreichend, wenn du dir merkst, dass e ungefähr 2,7 ist.

Eulersche Zahl (grob gerundet):

Ein interessanter Grenzwert

Wir betrachten den folgenden Grenzwert:

Was ist deiner Meinung nach das Ergebnis dieses Grenzwertes?

Wenn du nun denkst, dass dabei die Zahl 1 herauskommt, weil der Bruch für sehr große Werte von n bekanntlich gegen Null geht, 1 + 0 = 1 und schließlich 1 hoch eine beliebige Zahl wieder die Zahl 1 ergibt, liegst du falsch! Es kommt nämlich die Zahl e heraus!

Das liegt daran, dass der Bruch für sehr große Werte von n zwar gegen Null geht, aber niemals exakt den Wert Null annimmt. In der Klammer steht daher nicht exakt die Zahl 1, sondern eine Zahl, die ein klein wenig größer ist als 1. Diese Zahl wird nun noch mit einer extrem großen Zahl n potenziert, also extrem oft mit sich selbst multipliziert. Dabei kommt dann eben nicht 1, sondern e heraus.

Wenn du das nicht glauben kannst, nimm einfach deinen Taschenrechner und setze für n irgendeine extrem große Zahl ein (zum Beispiel n = 1.000.000) Dabei ergibt sich:

Wir erhalten offensichtlich nicht das Ergebnis 1, sondern eine Zahl, die schon recht nahe an e herankommt. Erst an der sechsten Nachkommastelle weicht unser Ergebnis für n = 1.000.000 von der Zahl ab.

Nun dürftest du glauben können, dass bei wirklich die Zahl e und nicht die Zahl 1 herauskommt.

Auf die Zahl e stößt man auch bei .

Die Zahl ist eine Naturkonstante. D.h. die Zahl ist nicht einfach vom Menschen festgelegt, sondern durch die Natur. Nur die Bezeichnung e für diese Zahl wurde vom Menschen gewählt.

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