Einführung in die Bruchgleichungen
Unter einer Bruchgleichung versteht man eine Gleichung, bei der die Unbekannte x im Nenner vorkommt. (Natürlich kann für die Unbekannte auch ein anderer Buchstabe als x vorkommen, doch das ist eher selten der Fall. An die Bezeichnung x für die Unbekannte bzw. Variable bist du sicher gewöhnt, darum wollen wir auf dieser website auch dabei bleiben.) Also:Steht bei einer Gleichung x im Nenner, dann liegt eine Bruchgleichung vor.
Wenn eine Bruchgleichung vorliegt, muss du das gleich erkennen können, denn sie lässt sich nicht so einfach lösen, wie z.B. eine lineare Gleichung (d.h. eine einfache Gleichung ohne x im Nenner).
Besonderheiten von Bruchgleichungen:
Um eine Bruchgleichung zu lösen, muss mit dem Hauptnenner multipliziert werden. Das entspricht dem Kreuzweise-Multiplizieren, wenn auf beiden Seiten der Gleichung jeweils ein Quotient vorliegt, also links und rechts ein kompletter Bruch ohne Zahl oder Term dahinter oder davor, der addiert bzw. subtrahiert wird. Momentan muss es dir noch nicht ganz klar sein, wie das mit dem Hauptnenner-Multiplizieren bzw. das Kreuzweise-Multiplizieren geht. Genauer wird das dann im Kapitel Rechnerische Lösungsverfahren von Bruchgleichungen erklärt. Du sollst momentan nur erkennen lernen, ob eine Bruchgleichung vorliegt oder nicht.
Außerdem muss bei einer Bruchgleichung immer die Definitionsmenge angegeben werden, also die Menge der Werte, die man für x einsetzen kann, ohne dass der Nenner Null ergibt. Auch wenn gar nicht extra danach gefragt ist, muss die Definitionsmenge ermittelt werden! Die Definitionsmenge kann nämlich einen Einfluss auf die Lösungsmenge haben. (Wenn du die Gleichung nach x aufgelöst hast und der nun für x berechnete Wert genau mit der Definitionslücke zusammenfällt, ist dieser Wert nämlich keine Lösung der Gleichung und gehört somit nicht zur Lösungsmenge.) Darauf wird im Kapitel Definitionsmenge einer Bruchgleichung noch näher eingegangen.
Schauen wir uns erst ´mal ein paar Beispiele von Bruchgleichungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades an:
Bsp.:
a.) 
b.) 
c.) 
d.) 
e.) 
f.) 
Bei all diesen Aufgaben handelt es sich um Bruchgleichungen, da zumindest bei einem Bruch die Unbekannte x im Nenner steht. Lösen wollen wir die Aufgaben an dieser Stelle noch nicht. (Die kompletten Lösungen dieser Aufgaben findest du allerdings im Kapitel Rechnerische Lösungsverfahren von Bruchgleichungen.)
Gegenbeispiel:
